Question

（2007•河南）如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．
（1）求拋物線解析式及頂點坐標；
（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
②是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的對稱軸解析式，可用頂點式二次函數通式來設拋物線，然后將A、B兩點坐標代入求解即可．
（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據E點的橫坐標，用拋物線的解析式求出E點的縱坐標，那么E點縱坐標的絕對值即為△OAE的高，由此可根據三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數關系式進而可得出S與x的函數關系式．
①將S=24代入S，x的函數關系式中求出x的值，即可得出E點的坐標和OE，OA的長；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長相等，據此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形．
②如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應該是等腰直角三角形，即E點的坐標為（3，-3）將其代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點．
解答：解：（1）因為拋物線的對稱軸是x=，
設解析式為y=a（x-）²+k．
把A，B兩點坐標代入上式，得，
解得a=，k=-．
故拋物線解析式為y=（x-）²-，頂點為（，-）．

（2）∵點E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合y=（x-）²-，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點E到OA的距離．
∵OA是OEAF的對角線，
∴S=2S_△OAE=2××OA•|y|=-6y=-4（x-）²+25．
因為拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）和（6，0），
所以自變量x的取值范圍是1＜x＜6．
①根據題意，當S=24時，即-4（x-）²+25=24．
化簡，得（x-）²=．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的點E有兩個，
分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
點E₁（3，-4）滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF是菱形；
點E₂（4，-4）不滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF不是菱形；
②當OA⊥EF，且OA=EF時，平行四邊形OEAF是正方形，
此時點E的坐標只能是（3，-3），
而坐標為（3，-3）的點不在拋物線上，
故不存在這樣的點E，使平行四邊形OEAF為正方形．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的性質、菱形和正方形的判定等知識．綜合性強，難度適中．