Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H．

小題1:求△PEF的邊長；
小題2:在不添加輔助線的情況下，從圖中找出一個除△PEF外的等腰三角形，并說明理由
小題3:若△PEF的邊EF在線段BC上移動．試猜想：PH與BE有何數量關系？并證明你猜想的結論．

Answer 1

 
小題1:過P作PQ⊥BC于Q（如圖1） 
矩形ABCD，∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又AD∥BC，∴PQ=AB=
∵△PEF是等邊三角形，∴∠PFQ=60°
在Rt△PQF中，QF：PQ：PF=1：：2
∴△PEF的邊長為2．       ……………………4分
小題2:△APH是等腰三角形。理由如下：
∵AD∥BC，∠PFQ=60°，∴∠FPD=60°
在Rt△ADC中，AD=，DC=3，∴由勾股定理得AC=2，
∴AD=AC，∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFQ=60°，∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，∴△APH是等腰三角形．   ……4分
小題3:PH－BE=1，理由如下：
作ER⊥AD于R（如圖2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，∴PR=PE=1，∴PH－BE= PA－BE=PR=1。    …………2分

 略