Question

在Rt△ABC中，AC=BC，點D為AB中點．∠GDH=90°，∠GDH繞點D旋轉，DG，DH分別與邊AC，BC交于E，F兩點．下列結論：①AE+BF=AC，②AE²+BF²=EF²，③S_{四邊形CEDF}=

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S_△ABC，④△DEF始終為等腰直角三角形．其中正確的是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．①④

D．②③

Answer 1

分析：延長FD到M使MD=DF，連結AM、EM、CD，根據等腰直角三角形的性質得CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD⊥AB，再根據等角的余角相等得∠CDE=∠BDF，則可根據“AAS”判斷△CDE≌△BDF，所以CE=BF，DE=DF，易得AE+BF=AC，△△DEF等腰直角三角形；再由△CDE≌△BDF得S_△CDE=S_△BDF，于是S_{四邊形CEDF}=S_△CDB=

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S_△ABC；然后根據“SAS”判斷△DAM≌△DBF，得到AM=BF，∠DAM=∠B=45°，則△AME為直角三角形，所以AE²+AM²=EM²，即AE²+BF²=EM²，接著由ED垂直平分MF得到EM=EF，所以AE²+BF²=EF²．

解答：解：延長FD到M使MD=DF，連結AM、EM、CD，如圖，
∵AC=BC，點D為AB中點．∠GDH=90°，
∴CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD⊥AB，
∵∠GDF=90°，即∠CDE+∠CDF=90°，
而∠CDF+∠BDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，

∠DCE=∠B ∠CDE=∠BDF CD=BD

，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
∴CE=BF，DE=DF，
∴AE+BF=AE+CE=AC，所以①正確；
∵∠EDF=90°，
∴△DEF始終為等腰直角三角形，所以④正確；
∵△CDE≌△BDF，
∴S_△CDE=S_△BDF，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△CDB=

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S_△ABC，所以③正確；
在△DAM和△DBF中，

DA=DB ∠ADM=∠BDF DM=DF

，
∴△DAM≌△DBF（SAS），
∴AM=BF，∠DAM=∠B=45°，
∴∠EAM=45°+45°=90°，
∴AE²+AM²=EM²，
∴AE²+BF²=EM²，
∵ED垂直平分MF，
∴EM=EF，
∴AE²+BF²=EF²，所以②正確．
故選A．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質和勾股定理．