Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+mx+2m﹣7的圖象經過點（1，0）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）把﹣4＜x＜1時的函數圖象記為H，求此時函數y的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，將圖象H在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象H的其余部分保持不變，得到一個新圖象M．若直線y=x+b與圖象M有三個公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為y=x2+2x﹣3；

（2）y的取值范圍是﹣4≤y＜5；

（3）b的取值范圍是3＜b＜．

【解析】試題分析：（1）把點（1,0）代入y=x2+mx+2m﹣7即可求得m的值，從而得二次函數的解析式；（2）求出當x=﹣1時和當x=﹣4時時y的值，根據函數的增減性確定y的取值范圍；（3）把拋物線y=x2+2x﹣3的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），當直線y=x+b經過（﹣3，0）時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，此時b=3；當直線y=x+b與拋物線y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，即﹣（x+1）2+4=x+b有相等的實數解，整理得x2+3x+b﹣3=0，△=32﹣4（b﹣3）=0，解得b=．結合圖象可得，直線y=x+b與圖象M有三個公共點，b的取值范圍是3＜b＜．

試題解析：

（1）∵二次函數y=x2+mx+2m﹣7的圖象經過點（1，0），

∴1+m+2m﹣7=0，解得m=2，

∴拋物線的表達式為y=x2+2x﹣3；

（2）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∵當﹣4＜x＜﹣1時，y隨x增大而減小；

當﹣1≤x＜1時，y隨x增大而增大，

∴當x=﹣1，y最小=﹣4，

當x=﹣4時，y=5，

∴﹣4＜x＜1時，y的取值范圍是﹣4≤y＜5；

（3）y=x2+2x﹣3與x軸交于點（﹣3，0），（1，0），翻折后可得新圖象M如圖中紅色部分，

把拋物線y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），

當直線y=x+b經過（﹣3，0）時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，此時b=3；

當直線y=x+b與拋物線y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，

即﹣（x+1）2+4=x+b有相等的實數解，整理得x2+3x+b﹣3=0，△=32﹣4（b﹣3）=0，解得b=．

結合圖象可得，直線y=x+b與圖象M有三個公共點，b的取值范圍是3＜b＜．