Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C，與軸交于點A、B，且AB＝2，拋物線的對稱軸為直線x=2；

（1） 求拋物線的函數表達式；

（2） 如果拋物線的對稱軸上存在一點P，使得△APC周長的最小，求此時△APC周長．

（3） 設D為拋物線上一點，E為對稱軸上一點，若以點A、B、D、E為頂點的四邊形是菱形，求點D的坐標．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1） y=x2-4x+3；（2） ．（3） D的坐標為：（2，-1）．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線對稱軸的定義易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根．由韋達定理易求b、c的值；

（2）如圖，連接AC、BC，BC交對稱軸于點P，連接PA．根據拋物線的對稱性質得到PA=PB，則△APC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據兩點間的距離公式來求該三角形的周長的最小值即可；

（3）如圖2，點D是拋物線的頂點，所以根據拋物線解析式利用頂點坐標公式即可求得點D的坐標．

試題解析：（1）∵AB=2，對稱軸為直線x=2．

∴點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（3，0）．

∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A，B，

∴1、3是關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根．

由韋達定理，得

1+3=-b，1×3=c，

∴b=-4，c=3，

∴拋物線的函數表達式為y=x2-4x+3；

（2）連接AC、BC，BC交對稱軸于點P，連接PA．

由（1）知拋物線的函數表達式為y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3），

∴BC=，AC=．

∵點A、B關于對稱軸x=2對稱，

∴PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC．

此時，PB+PC=BC．

∴點P在對稱軸上運動時，（PA+PC）的最小值等于BC．

∴△APC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=．

（3）如圖2，根據“菱形ADBE的對角線互相垂直平分，拋物線的對稱性”得到點D是拋物線y=x2-4x+3的頂點坐標，即（2，-1），

當E、D點在x軸的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此時不合題意，

故點D的坐標為：（2，-1）．