Question

已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x²-x-1=0的兩個實數根，設s₁=α+β，s₂=α²+β²，…，s_n=αⁿ+βⁿ．根據根的定義，有α²-α-1=0，β²-β-1=0，將兩式相加，得（α²+β²）-（α+β）-2=0，于是，得s₂-s₁-2=0．
根據以上信息，解答下列問題：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接寫出s₁，s₂的值；
（2）猜想：當n≥3時，s_n，s_n-1，s_n-2之間滿足的數量關系，并證明你的猜想的正確性；
（3）根據（2）中的猜想，直接寫出(

1+ 5

2

)8+(

1- 5

2

)8的值．

Answer 1

分析：（1）此小題只需對x²-x=1配方解得x的值即為α，β的值，再由s₁=α+β，s₂=α²+β²求得s₁，s₂的值；
（2）此小題可猜想得到s_n=s_n-1+s_n-2，再根據根的定義證明即可；
（3）由（2）可得出(

1+ 5

2

)8+(

1- 5

2

)8即為S₈的值，依次計算求得S₈的值即可．

解答：解：（1）移項，得x²-x=1，
配方，得x2-2×x×

1

2

+(

1

2

)2=1+(

1

2

)2，
即(x-

1

2

)2=

5

4

，
開平方，得x-

1

2

=±

5

2

，即x=

1± 5

2

，
所以，α=

1+ 5

2

，β=

1- 5

2

．
于是，s₁=1，s₂=3；

（2）猜想：s_n=s_n-1+s_n-2．
證明：根據根的定義，α²-α-1=0，
兩邊都乘以α^n-2，得　αⁿ-α^n-1-α^n-2=0，①
同理，βⁿ-β^n-1-β^n-2=0，②
①+②，得（αⁿ+βⁿ）-（α^n-1+β^n-1）-（α^n-2+β^n-2）=0，
因為　s_n=αⁿ+βⁿ，s_n-1=α^n-1+β^n-1，s_n-2=α^n-2+β^n-2，
所以　s_n-s_n-1-s_n-2=0，
即s_n=s_n-1+s_n-2．

（3）47．
理由：由（1）知，s₁=1，s₂=3，由（2）中的關系式可得：
s₃=s₂+s₁=4，s₄=s₃+s₂=7，s₅=7+4=11，s₆=11+7=18，s₇=18+11=29，s₈=29+18=47．
即(

1+ 5

2

)8+(

1- 5

2

)8=s8=47．

點評：本題考查了配方法的應用，屬于規律型的題目，比較麻煩，同學們要好好掌握．