Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數 （k≠0）在第一象限內的圖像經過點D、E，且tan∠BOA= ．

（1）求邊AB的長；
（2）求反比例函數的解析式和n的值；
（3）若反比例函數的圖像與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點E（4，n）在邊AB上，

∴OA=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，

∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2

（2）

解：根據（1），可得點B的坐標為（4，2），

∵點D為OB的中點，

∴點D（2，1）

∴ =1，

解得k=2，

∴反比例函數解析式為y= ，

又∵點E（4，n）在反比例函數圖像上，

∴ =n，

解得n=

（3）

解：如圖，

設點F（a，2），

∵反比例函數的圖像與矩形的邊BC交于點F，

∴ =2，

解得a=1，

∴CF=1，

連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，

在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，

即t2=（2﹣t）2+12，

解得t= ，

∴OG=t= ．

【解析】（1）根據點E的縱坐標判斷出OA=4，再根據tan∠BOA= 即可求出AB的長度；（2）根據（1）求出點B的坐標，再根據點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數法求函數解析式求出反比例函數解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值；（3）先利用反比例函數解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據折疊的性質可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．