Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E為OC上動點(與點O不重合)，作AF⊥BE，垂足為G，交BO于H．連接OG、CG．

(1)求證：AH=BE；

(2)試探究：∠AGO 的度數是否為定值？請說明理由；

(3)若OG⊥CG，BG=，求△OGC的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)45°；(3)9.

【解析】

（1）利用正方形性質，證△ABH≌△BCE.可得AH=BE.

（2）證△AOH∽△BGH， ，，再證△OHG∽△AHB.，

得∠AGO=∠ABO=45°；

（3）先證△ABG∽△BFG.得,所以，AG·GF=BG2

=（）2=18.再證△AGO∽△CGF.得,所以，GO·CG=AG·GF=18.所以，S△OGC=CG·GO.

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB=45°

∵AF⊥BE,

∴∠BAG+∠ABG=∠CBE+∠ABG=90°.

∴∠BAH=∠CBE.

∴△ABH≌△BCE.

∴AH=BE.

（2）∵∠AOH=∠BGH=90°,∠AHO=∠BHG,

∴△AOH∽△BGH

∴

∴

∵∠OHG=∠AHB.

∴△OHG∽△AHB.

∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度數為定值

（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,

∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,

∴△ABG∽△BFG.

∴,

∴AG·GF=BG2=（）2=18.

∵△AHB∽△OHG，

∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.

∵∠AOB=∠BGF=90°,

∴∠AOG=∠GFC.

∵∠AGO=45°,CG⊥GO,

∴∠AGO=∠FGC=45°.

∴△AGO∽△CGF.

∴,

∴GO·CG=AG·GF=18.

∴S△OGC=CG·GO=9.