Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點F，連接DF，給出下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，其中正確的結論有（ ）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；
②根據點E是AD邊的中點，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根據相似三角形對應邊成比例，可得CF=2AF，故②正確；
③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=

BC，得到CN=NF，根據線段的垂直平分線的性質可得結論，故③正確；
④根據△AEF∽△CBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據此求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四邊形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD，即可得到S四邊形CDEF=S△ABF，故④正確．

如圖，過D作DM∥BE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，

∵BE⊥AC于點F，

∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，∴＝，

∵AE＝AD＝BC，

∴＝，∴CF＝2AF，故②正確，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正確；

∵△AEF∽△CBF，

∴＝＝，

∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，

∴S△AEF＝S矩形ABCD，

又∵S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，

∴S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，故④正確；

故選：D．