Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，點E是BC的中點，AE與BD交于點F，且F是AE的中點．

（Ⅰ）求證：四邊形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）15.

【解析】

（Ⅰ）先證四邊形ADCE是平行四邊形，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求AE=CE，即可得四邊形AECD是菱形；
（Ⅱ）由題意可求S△AEC=S△ACD=S△ABC，即可求四邊形ABCD的面積．

證明（Ⅰ）∵AD∥BC

∴∠ADB＝∠DBE

∵F是AE中點

∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE

∴△ADF≌△BEF

∴BE＝AD

∵AB⊥AC，E是BC中點

∴AE＝BE＝EC

∴AD＝EC，且AD∥BC

∴四邊形ADCE是平行四邊形

且AE＝EC

∴四邊形ADCE是菱形；

（Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC

∴S△ABC＝10

∵E是BC中點

∴S△AEC＝S△ABC＝5

∵四邊形ADCE是菱形

∴S△AEC＝S△ACD＝5

∴四邊形ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD＝15.

故答案為：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）15.