Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是對角線BD的中點，直角∠GEF的兩直角邊EF、EG分別交CD、BC于點F、G．

（1）若點F是邊CD的中點，求EG的長；

（2）當直角∠GEF繞直角頂點E旋轉，旋轉過程中與邊CD、BC交于點F、G．∠EFG的大小是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠EFG的值；

（3）如圖3，連接CE交FG于點H，若，請求出CF的長．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）∠EFG的大小不發生變化，理由見詳解；；（3）．

【解析】

（1）根據點E是對角線BD的中點，點F是邊CD的中點，可證，再根據可得四邊形EGCF是矩形，則點G是邊BC的中點，可求出EG；

（2）作交于，交于，可得是繞直角頂點E旋轉而得到的，利用，，易證，根據相似比可得，則有，可知的大小在轉動的過程中不會發生變化；利用，，可得，，則；

（3）連接CE交FG于點H，作交于，交于，過點E作交于，則是繞直角頂點E旋轉而得到的，由（2）知的大小在轉動的過程中不會發生變化，易證，則，有，可得，設，則，可求得，,利用勾股定理即可求出的值，即可得到的值．

解：（1）如圖示，

∵點E是對角線BD的中點，點F是邊CD的中點，

∴,

∵,

∴

∴四邊形EGCF是矩形，

∴,

∴點G是邊BC的中點，

∴;

（2）答：∠EFG的大小不會發生變化。

證明：如圖示：作交于，交于，連接

∴,,

∴是繞直角頂點E旋轉而得到的，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴的大小在轉動的過程中不會發生變化；

∵點E是對角線BD的中點，，，

∴，

∴

（3）如圖示，連接CE交FG于點H，作交于，交于，過點E作交于，

則是繞直角頂點E旋轉而得到的，

∴

又∵

∴

∴

∴

∴，即：,

設，則，

由（2）可知：，，

∴，即：，

∴，,

在中，,

即：，解之得：（取正值），

即：．