Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣2x與x軸交于O、B兩點，頂點為P，連接OP、BP，直線y=x﹣4與y軸交于點C，與x軸交于點D．
（Ⅰ）直接寫出點B坐標 ；判斷△OBP的形狀 ；
（Ⅱ）將拋物線沿對稱軸平移m個單位長度，平移的過程中交y軸于點A，分別連接CP、DP；
（i）若拋物線向下平移m個單位長度，當S△PCD= S△POC時，求平移后的拋物線的頂點坐標；
（ii）在平移過程中，試探究S△PCD和S△POD之間的數量關系，直接寫出它們之間的數量關系及對應的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當y=0時，x2﹣2x=0，解得x=0（舍）或x=2，即B點坐標為（2，0），
∵拋物線y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
∴P點坐標為（1，﹣1），由勾股定理，得
OP2=（2﹣1）2+12=2，
∴OP2+BP2=OB2 ， OP=BP，
∴△OBP是等腰直角三角形，
故答案為：（2，0）；等腰直角三角形；
（Ⅱ）解：∵直線y=x﹣4與y軸交于點C，與x軸交于點D，
∴C（0，﹣4），D（4，0），當x=1時，y=﹣3，即M（1，﹣3），
拋物線向下平移m個單位長度，解析式為y=（x﹣1）2﹣（1+m），P（1，﹣1﹣m），
∴PM=|﹣（1+m）+3|=|m﹣2|，
S△PCD=S△PMC+S△PMD= PM|xP﹣xC|= |m﹣2|×4=2|m﹣2|，
（i）S△POC= AC|xP|= ×4×1=2，∵S△PCD= S△POC ， ∴S△PCD=2|m﹣2|=2 ，解得m=2+ 或m=2﹣ ，∴P（1，﹣3﹣ ）或（1，﹣3+ ）；
（ii）S△POD= OD|yP|= ×4×|1﹣（1+m）|=2|m+1|，
①當m≥2時，S△PCD=2|m﹣2|=2m﹣4，S△POD=2|m+1|=2m+2，∴S△POD﹣S△PCD=6
②當﹣1≤m＜2時，S△PCD=2|m﹣2=4﹣2m，S△POD=2|m+1|=2m+2，∴S△POD+S△PCD=6
③當m＜﹣1時，S△PCD=2|m﹣2|=4﹣2m，S△POD=2|m+1|=2﹣2m，∴S△POD﹣S△PCD=6，
綜上所述：當m≥2時，S△POD﹣S△PCD=6；當﹣1≤m＜2時，S△POD+S△PCD=6；當m＜﹣1時，S△POD﹣S△PCD=6
【解析】（Ⅰ）根據自變量與函數值得對應關系，可得B點坐標，根據配方法，可得頂點坐標，根據勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；（Ⅱ）根據自變量與函數值得對應關系，可得C，D，M點坐標，根據平移規律，可得P點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點間的距離較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PM的長，（i）根據面積的關系，可得關于m的方程，根據解方程，可得到頂點坐標；（ii）根據三角形的面積，可得答案．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．