Question

【題目】如果把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出的一串數字，與從個位到最高位依次排出的一串數字完全相同，那么我們把這樣的自然數稱為“和諧數”．例如自然數12321，從最高位到個位依次排出的一串數字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串數字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一個“和諧數”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和諧數”．
（1）請你直接寫出3個四位“和諧數”；請你猜想任意一個四位“和諧數”能否被11整除？并說明理由；
（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數”，設其個位上的數字x（1≤x≤4，x為自然數），十位上的數字為y，求y與x的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：四位“和諧數”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）

任意一個四位“和諧數”都能被11整除，理由如下：

設任意四位“和諧數”形式為： ，則滿足：

最高位到個位排列：a，b，c，d．

個位到最高位排列：d，c，b，a．

由題意，可得兩組數據相同，則：a=d，b=c，

則 = = =91a+10b為正整數．

∴四位“和諧數”能被11整數，

又∵a，b，c，d為任意自然數，

∴任意四位“和諧數”都可以被11整除

（2）解：設能被11整除的三位“和諧數”為： ，則滿足：

個位到最高位排列：x，y，z．

最高位到個位排列：z，y，x．

由題意，兩組數據相同，則：x=z，

故 = =101x+10y，

故 = = =9x+y+ 為正整數．

故y=2x（1≤x≤4，x為自然數）

【解析】（1）根據“和諧數”的定義（把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出的一串數字，與從個位到最高位依次排出的一串數字完全相同）寫出四個“和諧數”，設任意四位“和諧數”形式為： ，根據和諧數的定義得到a=d，b=c，則 = = =91a+10b為正整數，易證得任意四位“和諧數”都可以被11整除；（2）設能被11整除的三位“和諧數”為： ，則 = = =9x+y+ 為正整數．故y=2x（1≤x≤4，x為自然數）．