Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F分別是邊AB，BC，AC的中點．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=4 ，求四邊形AEDF的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E，D，F分別是邊AB，BC，AC的中點，

∴DE∥AF且DE= =AF，

∴四邊形AEDF為平行四邊形，

同理可得，DF∥AB且DF= ，

∵AB=AC，

∴DE=DF，

∴四邊形AEDF是菱形

（2）解：連接AD，

∵AB=AC，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，BD=BC= ，

∴AE= = =4，

∵四邊形AEDF是菱形，

∴四邊形AEDF的周長為4×4=16．

【解析】（1）由AB=AC利用中位線的性質可得DE=DF，四邊形AEDF為平行四邊形，由鄰邊相等的平行四邊形是菱形證得結論；（2）首先由等腰三角形的性質“三線合一”得AD⊥BC，BD=BC= ，由銳角三角函數定義得AE，易得四邊形AEDF的周長．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和三角形中位線定理的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．