Question

閱讀下列材料，然后解答問題．
經過正四邊形（即正方形）各頂點的圓叫作這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫作這個圓的內接正四邊形．
如圖，已知正四邊形ABCD的外接圓⊙O，⊙O的面積為S₁，正四邊形ABCD的面積為S₂，以圓心O為頂點作∠MON，使∠MON=90°，將∠MON繞點O旋轉，OM、ON分別與⊙O相交于點E、F，分別與正四邊形ABCD的邊相交于點G、H．設由OE、OF、及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中的陰影部分）的面積為S．①
（1）當OM經過點A時（如圖①），則S、S₁、S₂之間的關系為：S=______（用含S₁、S₂的代數式表示）；
（2）當OM⊥AB時（如圖②），點G為垂足，則（1）中的結論仍然成立嗎？請說明理由；
（3）當∠MON旋轉到任意位置時（如圖③），則（1）中的結論仍然成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的圓的對稱性，顯然陰影部分的面積等于扇形OEF的面積減去三角形OEF的面積，即圓面積的減去正方形的面積的；
（2）顯然此時扇形OEF的面積仍是圓面積的，四邊形OGBH的面積仍是正方形的面積的，故（1）中結論仍成立；
（3）可以作OP⊥AB，OQ⊥BC，利用全等的知識即可證明四邊形OGBH的面積和（2）中四邊形的面積相等，故結論仍成立．
解答：解：（1）根據圖形的對稱性，得
S=；

（2）結論仍成立．
∵扇形OEF的面積仍是圓面積的，四邊形OGBH的面積仍是正方形的面積的，
∴S=；


（3）作OP⊥AB，OQ⊥BC．
則∠OPG=∠OQH，OP=OQ，
∵∠POQ=∠MOH，
∴∠POG=∠QOH，
∵在△OPG與△OQH中，
，
∴△OPG≌△OQH（ASA）．
結合（2）中的結論即可證明．
點評：一題多變是常見的類型，熟悉正方形的性質．