Question

（2012•思明區質檢）在平面直角坐標系中，已知函數y₁=2x和函數y₂=-x+6，不論x取何值，y₀都取y₁與y₂二者之中的較小值．
（1）求y₀關于x的函數關系式；
（2）現有二次函數y=x²-8x+c，若函數y₀和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的結論下，若函數y₀和y的圖象有且只有一個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯立兩函數解析式求出交點坐標，然后根據一次函數的增減性解答；
（2）根據一次函數的增減性判斷出x≥2，再根據二次函數解析式求出對稱軸，然后根據二次函數的增減性可得x≤4，從而得解；
（3）①若函數y=x²-8x+c與y₀=-x+6只有一個交點，聯立兩函數解析式整理得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范圍內，則符合；②若函數y=x²-8x+c與y₀=-x+6有兩個交點，先利用根的判別式求出c的取值范圍，方法一：先求出x=2與x=4時的函數值，然后利用一個解在x的范圍內，另一個解不在x的范圍內列出不等式組求解即可；方法二：聯立兩函數解析式整理得到關于x的一元二次方程，并求出方程的解，再根據兩個解一個在x的范圍內，另一個解不在x的范圍內列出不等式組求解即可．

解答：解：（1）聯立

y=2x y=-x+6

，
解得

x=2 y=4

，
所以，y₀=

2x(x≤2) -x+6(x≥2)

；
（說明：兩個自變量取值范圍都含有等號或其中一個含等號均不扣分，都沒等號扣1分）

（2）∵對函數y₀，當y₀隨x的增大而減小，
∴y₀=-x+6（x≥2），
又∵函數y的對稱軸為直線x=4，且a=1＞0，
∴當x≤4時，y隨x的增大而減小，
∴2≤x≤4；

（3）①若函數y=x²-8x+c與y₀=-x+6只有一個交點，且交點在2＜x＜4范圍內，
則x²-8x+c=-x+6，
即x²-7x+（c-6）=0，
△=73-4c=0，
解得c=18

1

4

，
此時x₁=x₂=

7

2

，符合2＜x＜4，
所以，c=18

1

4

，
②若函數y=x²-8x+c與y₀=-x+6有兩個交點，其中一個在2≤x≤4范圍內，另一個交點在2≤x≤4范圍外，
則△=73-4c＞0，
解得c＜18

1

4

，
方法一：對于y₀=-x+6，當x=2時，y₀=4，
當x=4時，y₀=2，
又∵當2≤x≤4時，y隨x的增大而減小，
若y=x²-8x+c與y₀=-x+6在2＜x＜4內有一個交點，
則當x=2時，y＞y₀，當x=4時，y＜y₀，
即當x=2時，y≥4；當x=4，時y≤2，
也就是

4-16+c＞4 16-32+c＜2

，
解得16＜c＜18，
由c＜18

1

4

，得16＜c＜18…..…（12分）
方法二：聯立

y=x2-8x+c y=-x+6

消去y得，
x²-7x+（c-6）=0，
解得x=

7± 73-4c

2

，
由函數y=x²-8x+c與y₀=-x+6的一個交點在2≤x≤4范圍內，另一個交點在2≤x≤4范圍外，
可得：

2＜ 7+ 73-4c 2 ＜4 7- 73-4c 2 ＜2

或

2＜ 7- 73-4c 2 ＜4 7+ 73-4c 2 ＞4

，
解第一個不等式組，可得

c＜16 c＞18

即無解，
解第二個不等式組，可得

c＞16 c＜18

即16＜c＜18，
由c＜18

1

4

，得16＜c＜18．
綜上所述，c的取值范圍是：c=18

1

4

或16＜c＜18．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要涉及聯立兩函數解析式求交點坐標，一次函數與二次函數的增減性，以及交點的個數的討論求解，（3）難點在于要分只有一個交點且交點橫坐標在x的取值范圍內，有兩個交點，但只有一個交點的橫坐標在x的取值范圍內，而另一交點在范圍外，比較復雜且難度較大．