Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為a，BM，DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MC，NC，MN．
（1）填空：與△ABM相似的三角形是△

NDA

，BM•DN=

a²

；（用含a的代數式表示）
（2）求∠MCN的度數；
（3）猜想線段BM，DN和MN之間的等量關系并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）如圖（3）由條件可以得出∠BMA=∠3，∠ABM=∠ADN=135°，就可以得出△ABM∽△NDA，利用相似三角形的性質就可以的得出BM•DN=a²．
（2）由△ABM∽△NDA，可以得出BM：DA=AB：ND，再由正方形的性質通過等量代換就可以得出△BCM∽△DNC．利用角的關系和圓周角的度數就可以求出結論．
（3）將△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，連接MF，證明△ABF≌△ADN．利用邊角的關系得出△BMF是直角三角形，由勾股定理就可以得出結論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BM，DN分別平分正方形的兩個外角，
∴∠CBM=∠CDN=45°，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BMA=∠NAD，
∴△ABM∽△NDA，
∴

BM

AD

=

AB

ND

∴BM•DN=a²．

（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM：DA=AB：ND．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DC，DA=BC，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°．
∴BM：BC=DC：ND．
∵BM，DN分別平分正方形ABCD的兩個外角，
∴∠CBM=∠NDC=45°．
∴△BCM∽△DNC．
∴∠BCM=∠DNC．
∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=270°-（∠DNC+∠DCN）=270°-（180°-∠CDN）=135°．

（3）線段BM，DN和MN之間的等量關系是BM²+DN²=MN²．
證明：如圖，將△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，連接MF．則
△ABF≌△ADN． 
∴∠1=∠3，AF=AN，BF=DN，∠AFB=∠AND．
∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°．
∴∠MAF=∠MAN．
又∵AM=AM，
∴△AMF≌△AMN．
∴MF=MN．
可得∠MBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BMF中，BM²+BF²=FM²．
∴BM²+DN²=MN²．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及正方形的性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的性質等知識．此題綜合性很強，圖形比較復雜，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的準確選擇．