Question

【題目】閱讀理解：小明熱愛數(shù)學，在課外書上看到了一個有趣的定理﹣﹣“中線長定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在△ABC中，點D為BC的中點，根據(jù)“中線長定理”，可得：
AB2+AC2=2AD2+2BD2 ． 小明嘗試對它進行證明，部分過程如下：
解：過點A作AE⊥BC于點E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2 ，
同理可得：AC2=AE2+CE2 ， AD2=AE2+DE2 ，
為證明的方便，不妨設BD=CD=x，DE=y，
∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…
（1）請你完成小明剩余的證明過程；
理解運用：

（2）①在△ABC中，點D為BC的中點，AB=6，AC=4，BC=8，則AD=；
②如圖3，⊙O的半徑為6，點A在圓內，且OA=2 ，點B和點C在⊙O上，且∠BAC=90°，點E、F分別為AO、BC的中點，則EF的長為
拓展延伸：

（3）小明解決上述問題后，聯(lián)想到《能力訓練》上的題目：如圖4，已知⊙O的半徑為5 ，以A（﹣3，4）為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B，C都在⊙O上，D為BC的中點，求AD長的最大值．
請你利用上面的方法和結論，求出AD長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點A作AE⊥BC于點E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，

同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，為證明的方便，不妨設BD=CD=x，DE=y，

∴AB2+AC2=2AE2+（x+y）2+（x﹣y）=2AE2+2x2+2y2、

=2AE2+2BD2+2DE2=2AD2+2BD2

（2）,4
（3）如圖4中，連接OA，取OA的中點E，連接DE．

由（2）的②可知：DE═ OB2﹣ OA2= ，

在△ADE中，AE= ，DE= ，

∵AD≤AE+DE，

∴AD長的最大值為 + =10

【解析】解：（2）①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2，

∴62+42=2AD2+2×42，

∴AD=

②如圖3中，

∵AF是△ABC的中線，EF是△AEO的中線，OF是△BOC的中線，

∵2EF2+2AE2=AF2+OF2，

2AF2+2BF2=AB2+AC2，

OF2=OB2﹣BF2，

∴4EF2=2OB2﹣4AE2=2OB2﹣OA2，

∴EF=2= OB2﹣ OA2=16，

∴EF=4（負根以及舍棄），

所以答案是 ．4．