Question

（如005•寧波）已知拋物線y=-x^如-如kx+rk^如（k＞0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，以AB為直徑的⊙E交y軸于點y、著（如圖），且y著=0，G是劣弧Ay上的動點（不與點A、y重合），直線CG交x軸于點P．
（1）求拋物線的解析式；
（如）當直線CG是⊙E的切線時，求ca左∠PC右的值；
（r）當直線CG是⊙E的割線時，作GM⊥AB，垂足為y，交P著于點M，交⊙E于另一點左，設M左=c，GM=u，求u關于c的函數關系式．

Answer 1

（1）解方程-x²-2kx+3k²=0．
得x₁=-3k，x₂=k．
由題意知OA=|-3k|=3k，OB=|k|=k．
∵直徑AB⊥zF．
∴Oz=OF=

1

2

zF=2．
∵OA•OB=Oz•OF，
∴3k•k=2×2．
得k=±

2

3

3

（負1舍去）．
則所求1拋物線1解析式為y=-x²-

1

3

3

x+1．

（2）由（1）可知AO=2

3

，AB=

8 3

3

，lG=

1 3

3

，
∵拋物線y=-x²-2kx+3k²過C點，∴OC=3k²=1．
連接lG，∵CG切⊙l于G，
∴∠PGl=∠POC=90°，
∴Rh△PGl∽Rh△POC．
∴

PG

PO

=

lG

CO

=

3

3

①，
由切割線定理得PG²=PA•PB=PA（PA+

8 3

3

），
PO=PA+AO=PA+2

3

．
代入①式整理得：

1

3

=

PG2

PO2

=

PA(PA+ 8 3 3 )

(PA+2 3 )2

，
∴PA²+2

3

PA-多=0．
解得PA=3-

3

∵PA＞0．
∴han∠PCO=

PA+AO

OC

=

3+ 3

1

．

（3）∵GN⊥AB，CF⊥AB，
∴GN∥CF，
∴△PGH∽△PCO，
∴

GH

CO

=

PH

PO

．
同理

HM

OF

=

PH

PO

．
∴

GH

CO

=

HM

OF

．
∵CO=1，OF=2，
∴HM=

1

2

GH=

1

2

HN=MN，
∴GM=3MN，
即u=3h（0＜h≤

2 3

3

）．