Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A、B，與y軸分別交于點C，其中點A（﹣1，0），OB=4OA，OC=2OA

（1）求拋物線的解析式．

（2）點P是線段AB一動點，過P作PD∥AC交BC于D，當△PCD面積最大時，求點P的坐標．

（3）點M是位于線段BC上方的拋物線上一點，當∠ABC恰好等于△BCM中的某個角時，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）P（，0）；（3）M點的坐標為（3，2）或（）

【解析】

（1）先根據B（4，0），C（0，2），設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣4），將點（0，2）代入求出，然后將原拋物線解析式化為一般式即可；

（2）設P（m，0），則OC=2，AB=5，BP=4-m，然后根據三角形面積公式列出二次函數解析式，利用二次函數的性質求解即可；

（3）分兩種情況求解：當∠BCM＝∠ABC時和當∠CBM＝∠ABC時．

解：（1）由條件可知：B（4，0），C（0，2）

設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣4），將點（0，2）代入上式得：

a×1×（﹣4）＝2解得：a＝﹣ ，

∴拋物線的解析式為y＝；

（2）如圖1，設P（m，0），則OC=2，AB=5，BP=4-m

SΔABC= AB×OC=5

∵PD//AC∴ΔABC∽ΔPDB

∴

∴

∴

∵SΔPCB=PB×OC=4-m

∴SΔPCD=SΔPCB-SΔPDB=4-m-=

∴當m=時，ΔPCM面積最大

∴P（，0）．

（3）由題意知，∠BMC≠∠ABC，

當∠BCM＝∠ABC時，CM∥AB，如圖2，

∴點C與點M關于拋物線的對稱軸對稱，

∴M（3，2）；

當∠CBM＝∠ABC時，如圖3，過M作MF⊥BC于F，過F作y軸的平行線，交x軸于G，交過M平行于x軸的直線于K，

∵∠CBM＝∠ABC，∠BFM＝∠BGF，

∴△MFK∽△FGB，

同理可證：△MBF∽△MFK∽△FBG∽△CBO，

∴ ， ．

設G（n，0），則F（n，﹣n+2），

∴ ，KF＝﹣n+2，

∴M（n+1，-n+4），代入拋物線解析式可解得，

n＝，n＝4（舍去）．

∴M（）．

綜合以上可得M點的坐標為（3，2）或（）．