Question

函數y=

4

x

和y=

1

x

在第一象限內的圖象如圖，點P是y=

4

x

的圖象上一動點，PC⊥x軸于點C，交y=

1

x

的圖象于點B．給出如下結論：①△ODB與△OCA的面積相等；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積大小不會發生變化；④CA=

1

3

AP．其中所有正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：①由A、B都在y=

1

x

的圖象上，根據反比例函數的比例系數k的幾何意義，可以直接得出結果；
②只有當點P的坐標為（2，2）時，PA與PB才相等；
③由四邊形PAOB的面積=矩形OCPD的面積-△ODB的面積-△OCA的面積．根據反比例函數的比例系數k的幾何意義，可知△ODB、△OCA、矩形OCPD的面積都是常數，所以四邊形PAOB的面積大小不會發生變化；
④根據反比例函數的比例系數k的幾何意義，可知△OPC面積等于2，△OCA的面積等于

1

2

，又同底（OC作底）的兩個三角形的面積比等于它們的高的比，得出AC：PC=1：4，所以CA=

1

3

AP．

解答：解：①因點A和B都在反比例函數y=

1

x

的圖象上，根據反比例函數k的幾何意義可知，△ODB與△OCA的面積都等于

1

2

，正確；
②由圖的直觀性可知，P點至上而下運動時，PB在逐漸增大，而PA在逐漸減小，錯誤；
③因△ODB與△OCA的面積都等于

1

2

，它們面積之和始終等于1，而矩形OCPD面積始終等于4，所以四邊形PAOB的面積始終等于3，即大小不會發生變化，正確；
④連接OP，△OPC面積始終等于2，△OCA的面積都等于

1

2

，因它們同底（OC作底），所以它們面積的比等于高AC與PC的比，即AC：PC=1：4，所以CA=

1

3

AP，正確．
故正確結論的序號是①③④．

點評：本題主要考查反比例函數比例系數k的幾何意義．過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積等于|k|；反比例函數圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=

1

2

|k|．該知識點是中考的重要考點，同學們應高度關注．