Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．

（1）當直線l不與底邊AB相交時，求證：ED=AE+BD；

（2）如圖2，將直線l繞點C順時針旋轉，使l與底邊AB相交時，請你探究ED、AE、BD三者之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）ED=BD﹣AE，理由見解析.

【解析】（1）根據垂直定義求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，

∠EAC+∠ACE=90°，得∠EAC=∠BCD，根據AAS推出△AEC≌△CDB，再根據全等三角形的性質推出CE=BD和AE=CD即可；（2）同（1）可得證．

解：（1）∵直線l過點C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∠EAC=∠BCD，∠AEC=∠BDC，AC=BC，

∴△AEC≌△CDB（AAS），

∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CE+CD，

∴ED=AE+BD；

（2）ED=BD﹣AE，

理由是：∵直線l過點C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∠EAC=∠BCD，∠AEC=∠BDC，AC=BC，

∴△AEC≌△CDB（AAS），

∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CE﹣CD，

∴ED=BD﹣AE．