Question

【題目】如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為（﹣4，4）．點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規定點P到達點O時，點Q也停止運動．連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D．BD與y軸交于點E，連接PE．設點P運動的時間為t（s）．

（1）∠PBD的度數為 ，點D的坐標為 （用t表示）；

（2）當t為何值時，△PBE為等腰三角形？

（3）探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．

Answer 1

【答案】（1）45°，（t，t）；（2）t為4秒或（）秒；（3）△POE周長是定值，該定值為8．

【解析】試題分析：（1）易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數和點D的坐標．

（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個基本圖形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進行求解，然后結合條件進行取舍，最終確定符合要求的t值．

（3）由（2）已證的結論EP=AP+CE很容易得到△POE周長等于AO+CO=8，從而解決問題．

試題解析：（1）如圖1，由題可得：AP=OQ=1×t=t（秒）

∴AO=PQ．

∵四邊形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°，∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．

∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，∵∠BAP=∠PQD，∠BPA=∠PDQ，AB=PQ，∴△BAP≌△PQD（AAS），∴AP=QD，BP=PD．∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°．∵AP=t，∴DQ=t，∴點D坐標為（t，t）．

故答案為：45°，（t，t）．

（2）①若PB=PE，由△PAB≌△DQP得PB=PD，顯然PB≠PE，∴這種情況應舍去．

②若EB=EP，則∠PBE=∠BPE=45°，∴∠BEP=90°，∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．

在△POE和△ECB中，∵∠PEO=∠EBC，∠POE=∠ECB，EP=BE，∴△POE≌△ECB（AAS），∴OE=CB=OC，∴點E與點C重合（EC=0），∴點P與點O重合（PO=0）．

∵點B（﹣4，4），∴AO=CO=4．此時t=AP=AO=4．

③若BP=BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，∵BA=BC，BP=BE，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL），∴AP=CE．

∵AP=t，∴CE=t，∴PO=EO=4﹣t．

∵∠POE=90°，∴PE==．

延長OA到點F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．在△FAB和△ECB中，∵AB=CB，∠BAF=∠BCE=90°，AF=CE，∴△FAB≌△ECB，∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠EBC=45°，∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°，∴∠FBP=∠EBP．

在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP（SAS），∴FP=EP，∴EP=FP=FA+AP=CE+AP，∴EP=t+t=2t，∴=2t．解得：t=，∴當t為4秒或（）秒時，△PBE為等腰三角形．

（3）∵EP=CE+AP，∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8，∴△POE周長是定值，該定值為8．