Question

如圖（1），已知，矩形ABCD的邊AD=3，對角線長為5，將矩形ABCD置于直角坐標系內，點C與原點O重合，且反比例函數的圖象的一個分支位于第一象限．
①求圖（1）中，點A的坐標是多少？
②若矩形ABCD從圖（1）的位置開始沿x軸的正方向移動，每秒移動1個單位，1秒后點A剛好落在反比例函數的圖象上，如圖（2），求反比例函數的表達式．
③矩形ABCD繼續向x軸的正方向移動，AB、AD與反比例函數圖象分別交于P、Q兩點，如圖（3），設移動總時間為t（1＜t＜5），分別寫出△PBC的面積S₁、△QDC的面積S₂與t的函數關系式，并求當t為何值時，S₂=S₁？

Answer 1

解：①連接OA，
∵OA=5，AD=3，
由勾股定理得：OD===4，
∴點A的坐標是（4，3）．

②∵4+1=5，
∴1秒后點A的坐標是（5，3），
代入y=得：3=，
∴k=15，
∴反比例函數的解析式為：y=；

③∵A在雙曲線上時t=1，
∴AP=t-1，
BP=BA-AP=4-（t-1）=5-t，
∴S₁=BP×BD=×（5-t）×3=-t+，
t秒后A的坐標是（4+t，3），
把x=4+t代入y=得：y=，
∴Q的坐標是（4+t，），
∴S₂=×DC×DQ=×4×=，
即S₁=-t+，S₂=，
∵S₂=S₁，
∴=×（-t+），解得：t=3，t=-2（舍去），
∴當t=3時，S₂=S₁．
分析：①連接OA，根據勾股定理求出OD，故可得出答案；
②求出A的坐標，把A的坐標代入反比例函數的解析式，求出k即可；
③求出BP，根據三角形的面積公式求出S₁即可；求出t秒后A的坐標，得出Q的橫坐標，代入解析式求出Q的縱坐標，求出CQ，根據三角形的面積公式求出S₂，把S₁、S₂代入得出關于t的方程，求出t的值即可．
點評：點評：本題考查反比例函數綜合題，涉及到點的坐標，三角形的面積，矩形的性質等知識點的應用，熟練的運用性質進行計算是解此題的關鍵，主要考查了學生的計算能力和運用性質進行推理的能力，題目較好，難度適中．