Question

（本小題10分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD為直徑作⊙
O₁，交BC于點E，過點E作EF⊥AB于F，建立如圖12所示的平面直角坐標系，已知A，
B兩點的坐標分別為A(0，2)，B(-2，0).
（1）求C，D兩點的坐標.
（2）求證：EF為⊙O₁的切線.
（3）探究：如圖13，線段CD上是否存在點P，使得線段PC的長度與P點到y軸的距離相等？如果存在，請找出P點的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）連結DE，∵CD是⊙O₁的直徑，

∴DE⊥BC，
∴四邊形ADEO為矩形.
∴OE=AD=2，DE=AO=2.
在等腰梯形ABCD中，DC=AB.
∴CE=BO=2，CO=4.
∴C(4，0)，D(2，2).
（2）連結O₁E，在⊙O₁中，O₁E=O₁C，
∠O₁EC=∠O₁CE，
在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB.
∴O₁E∥AB,
又∵EF⊥AB，
∴O₁E⊥EF.
∵E在AB上，
∴EF為⊙O₁的切線
（3）解法一：存在滿足條件的點P.
如右圖，過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依題意得PC=PM,

在矩形OMPN中，ON=PM，
設ON=x，則PM=PC=x，CN=4-x，
tan∠ABO=.
∴∠ABO=60°，
∴∠PCN =∠ABO =60°.
在Rt△PCN中，
cos∠PCN =，
即,
∴x=.
∴PN=CN·tan∠PCN=(4-)·=.
∴滿足條件的P點的坐標為(，).
解法二：存在滿足條件的點P，
如右圖，在Rt△AOB中，AB=.
過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依題意得PC=PM,
在矩形OMPN中，ON=PM，
設ON=x，則PM=PC=x，CN=4-x，
∵∠PCN=∠ABO，∠PCN=∠AOB=90°.
∴△PNC∽△AOB，
∴，即.
解得x=.
又由△PNC∽△AOB，得
，
∴PN=.
∴滿足條件的P點的坐標為(，).

解析