Question

（2007•恩施州）2007年4月23日，恩施清江鳳凰大橋建成通車(chē)．鳳凰大橋是八百里清江上一座集公路交通和城市景觀于一體的中承式鋼筋混凝土拱橋，主橋上的橋拱在空中劃出一道優(yōu)美的弧線，遠(yuǎn)遠(yuǎn)望去像是一彎彩虹橫臥于清波之上（如圖）．大橋上的橋拱是拋物線的一部分，位于橋上方部分的拱高約為18米，跨度約為112米．
（1）請(qǐng)你建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出可以近似描述主橋上的橋拱形狀的解析式；
（2）求距離橋面中心點(diǎn)28米處垂直支架的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）解決實(shí)際問(wèn)題中的拋物線問(wèn)題，一般需要建立適當(dāng)坐標(biāo)系來(lái)解決，本題可以以拋物線對(duì)稱(chēng)軸為y軸，水平跨度為x軸，建立坐標(biāo)系，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+c，根據(jù)已知確定頂點(diǎn)M（0，18），及點(diǎn)（56，0），拋物線解析式可求；
（2）實(shí)際上是求橫坐標(biāo)為28或者-28時(shí)，拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)值．
解答：解：（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系．
根據(jù)題意可知，橋拱頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，18），
橋拱與橋面的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為
（-56，0），（56，0）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+c
把（0，18），（56，0）代入，得
解得：
所以主橋上橋拱形狀的解析式為y=-x²+18；

（2）設(shè)距離橋面中心點(diǎn)28米處垂直支架的長(zhǎng)度等于h米，
那么距離橋面中心點(diǎn)28米處的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-28，h）或（28，h）
把（28，h）代入y=-x²+18中，
得h=13.5
所以在距離橋面中心點(diǎn)28米處的垂直支架的長(zhǎng)度為13.5米．
點(diǎn)評(píng)：本題考查建立適當(dāng)坐標(biāo)系解決拋物線的問(wèn)題的方法、點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．