Question

若一個矩形的短邊與長邊的比值為

5 -1

2

（黃金分割數），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形．
（1）操作：請你在如圖所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請予以證明；若不是，請說明理由；
（3）歸納：通過上述操作及探究，請概括出具有一般性的結論（不需要證明）．

Answer 1

分析：（1）只需在矩形的長上截取AE=AD，DF=AD，連接EF即可；
（2）可以結合（1）中正方形的性質求得矩形EBCF的寬與長的比進行分析；
（3）只要在黃金矩形中截取以矩形的短邊為邊長的正方形后，剩下的仍然是黃金矩形．

解答：解：（1）如圖．

（2）探究：四邊形EBCF是矩形，而且是黃金矩形．
∵四邊形AEFD是正方形，
∴∠AEF=90°
∴∠BEF=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∴四邊形EBCF是矩形．
【方法1】設CD=a，AD=b，則

b

a

=

5 -1

2

∴

CF

EF

=

a-b

b

=

a

b

-1=

2

5 -1

-1=

2( 5 +1)

4

-1=

5 -1

2

∴矩形EBCF是黃金矩形．
【方法2】設CD=a，則AD=

5 -1

2

a，CF=CD-DF=a-

5 -1

2

a=

3- 5

2

a
∴

CF

EF

=

3- 5 2 a

5 -1 2 a

=

3- 5

5 -1

=

5 -1

2

∴矩形EBCF是黃金矩形．

（3）歸納：在黃金矩形內以短邊為邊作一個正方形后，所得到的另外一個四邊形是矩形，而且是黃金矩形．

點評：此題綜合運用了正方形的性質和黃金矩形的概念．