Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G為⊙O一點，連接OD, 并延長DO交CG于點M，CM=GM.

（1）求證：∠GCD=2∠ADC

（2）過點G作GN⊥CD，交CD于點N,交⊙O于點T，過點O作OK⊥TG，交TG于點K,連接TC,求證：TC=2NK

（3）在（2）的條件下，連接BG，BG=11，CD=30，求sin∠CTN.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用垂徑定理，等弧所對的圓周角相等進行證明；

（2）連接PC,利用垂徑定理，三角形中位線的性質，矩形的判定和性質進行證明；

（3）連接BC、BD，過點D作DH⊥BC垂足為H，過點D作DF垂直于GB的延長線于F，利用垂徑定理，等弧所對的圓周角相等先證明，再證，然后設，再利用雙勾股列出方程，求得，再設，則，再利用勾股定理得，解得,最后利用解得.

解：（1）

連接

∵

∴

∴∠CGD=2∠ADC

又∵連接OD并延長DO交CG于點M，且CM=GM

∴DM⊥GC

∴DC=DG

∴∠GCD=∠CGD =2∠ADC

（2）

延長DM交圓O于點P,連接PC

∵CM=GM.且DM經過點O

∴DP⊥CG，∠PCD=90°

又∵CD⊥GT,OK⊥GT,CD⊥AB

∴四邊形KNEO是矩形

∴KN=OE,OE∥GT∥PC,

∵

∴

∴ ,OE==NK

∴

∵都是中點

∴

∴TC=2NK

（3）連接BC、BD，過點D作DH⊥BC垂足為H，過點D作DF垂直于GB的延長線于F

∵AB為⊙O的直徑，且CD⊥AB

∴

∵CM=GM 且DP⊥CG

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

設

則

∴

則

解得或（不符合題意，舍去）

∴

∴

設，則

∴

解得：

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴