Question

已知關于的方程與都有實數根,若這兩個方程有且只有一個公共根,且,則稱它們互為“同根輪換方程”．如與互為“同根輪換方程”．

（1）若關于的方程與互為“同根輪換方程”,求的值；

（2）若是關于的方程的實數根,是關于的方程的實數根,當.分別取何值時,方程與互為“同根輪換方程”,請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）m＝－12；（2）當p＝q＝－3a時,方程與互為“同根輪換方程”.

【解析】

試題分析：(1)根據同根方程條件：兩個方程有且只有一個公共根,且,先求出公共根,進而求出的值；

（2）仿照（1）的過程求出.的取值,只要得到p＝q,2a× b＝ab,即可判斷方程與互為“同根輪換方程”.

試題解析：（1）∵方程x2＋4x＋m＝0與x2－6x＋n＝0互為“同根輪換方程”,

∴ 4m＝－6n．

設t是公共根,則有t2＋4t＋m＝0,t2－6t＋n＝0．

解得,t＝．

∵4m＝－6n．

∴t＝．

∴()2＋4()＋m＝0．

∴m＝－12．

（2）若方程x2＋ax＋b＝0（b≠0）與有公共根．

則由x2＋ax＋b＝0,解得x＝．

∴．

∴b＝－6a2．

當b＝－6a2時,有x2＋ax－6a2＝0,x2＋2ax－3a2＝0．

解得,x1＝－3a,x2＝2a；x3＝－3a,x4＝a．

若p＝q＝－3a,

∵b≠0,∴－6a2≠0,∴a≠0．

∴2a≠a．即x2≠x4．

∵2a×b＝ab,

∴方程x2＋ax＋b＝0（b≠0）與＝0互為“同根輪換方程” ．

考點：一元二次方程的應用．1061442