Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標為（2，1），且經過點B（），拋物線對稱軸左側與x軸交于點A，與y軸相交于點C．
（1）求拋物線解析式y₁和直線BC的解析式y₂；
（2）連接AB、AC，求△ABC的面積．
（3）根據圖象直接寫出y₁＜y₂時自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，1），
∴y₁=a（x-2）²+1，
∵拋物線經過點（，），
∴a（-2）²+1=，
解得a=-1，
∴y₁=-（x-2）²+1=-x²+4x-3，
當x=0，y=-3，
∴C（0，-3），
設直線BC解析式為y₂=kx+b（k≠0），
則有，
解得．
所以，直線BC的解析式為y₂=x-3；

（2）對于y₁=-x²+4x-3，當y=0時，-x²+4x-3=0，
即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴點A的坐標為（1，0），
設直線BC與x軸相交于D，
對于y₂=x-3，當y=0時，x-3=0，
解得x=2，
∴點D的坐標為（2，0），
∴AD=2-1=1，
則S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
=AD•|y_B|+AD•|y_C|=×1×+×1×3=；

（3）由圖得，當x＜0或x＞時，y₁＜y₂．
分析：（1）設拋物線頂點式解析式y₁=a（x-2）²+1，然后把點B的坐標代入求出a的值，即可求出拋物線解析式；令x=0求出點C的坐標，再設直線BC的解析式y₂=kx+b（k≠0），利用待定系數法求一次函數解析式解答；
（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點A的坐標，設直線BC與x軸的交點為D，利用直線BC的解析式求出點D的坐標，然后根據S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，列式進行計算即可得解；
（3）根據圖形，找出直線BC在拋物線上方部分的x的取值范圍即可．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求函數解析式（包括二次函數解析式、直線解析式），三角形的面積求解，利用函數圖象解不等式，（1）利用頂點式解析式求解更加簡便，（2）把△ABC分解成兩個三角形求面積是解題的關鍵．