Question

在平面直角坐標系中，A（-4，-2），B（-2，-2），C（-1，0）
（1）將△ABC繞C點順時針旋轉90°，得△A₁B₁C，則點A₁的坐標為

 

．
（2）將△A₁B₁C向右平移6個單位得△A₂B₂C₂，則點B₂的坐標為

 

．
（3）從△ABC到△A₂B₂C₂能否看作是繞某一點作旋轉變換？若能，則旋轉中心坐標為

 

在旋轉變換中AB所掃過的面積為

 

．

Answer 1

分析：（1）在（-1，-2）處取點D，可知A，B，D三點位于同一直線上，且△ACD為直角三角形，即∠ADC=90°．我們讓△ACD繞C點旋轉，易知CD與x軸重合，A₁D∥y軸，即A′橫坐標的數值等于CD的長度加上OC的長度，縱坐標等于AD的長度，又A₁位于第二象限，故A₁的坐標為（-3，3）．
（2）由（1）可知，B₁的坐標為（-3，1），A₁B₁C向右平移6個單位得△B₂C₂，B₁的橫坐標向右平移6個單位，即B₂的橫坐標為-3+6=3，即點B₂的坐標為（3，1）．
（3）要求其中心，我們可以連接AA₂，CC₂，分別求他們的中垂線的方程，他們的交點就是旋轉中心，易知CC₂的中垂線為x=2，AA₂的斜率為

5

7

，其中點Q坐標為（-

1

2

，

1

2

），所以其中垂線的方程為5y+7x+1=0，與x=2聯立，解得交點P坐標為（2，-3）．

AB

的面積等于扇形PAB的面積減去△PAB的面積，易知PA=

37

，PQ=

37 2

，可知∠APQ=60°，即∠APA₂=120°．所以S

AA2

=S_扇PAA2-S_△APQ．同理可求出S

CC2

，S

BB2

．即S=S

AA2

+S

CC2

+S

BB2

．

解答：解：（1）取點D（-1，-2），可知A，B，D三點同一直線上，所以△ACD為直角三角形（∠ADC=90°），△ACD繞C點旋轉，易知CD與x軸重合，A₁D∥y軸，即A′橫坐標的數值等于CD的長度加上OC的長度，縱坐標等于AD的長度，又A₁位于第二象限，故A₁的坐標為（-3，3）．A₁（-3，3）；

（2）由（1）可知，B₁的坐標為（-3，1），A₁B₁C向右平移6個單位得△B₂C₂，B₁的橫坐標向右平移6個單位，即B₂的橫坐標為-3+6=3，即點B₂的坐標為（3，1）．B₂（3，1）；

（3）連接AA₂，CC₂，易知AA₂的斜率為

5

7

，其中點Q的坐標為（-

1

2

，

1

2

），所以其中垂線的方程為5y+7x+1=0，CC₂的中垂線為x=2，與x=2聯立，解得交點P坐標為（2，-3）．易知PA=

37

，PQ=

37 2

，可知∠APQ=60°，即∠APA₂=120°．所以S

AA2

=S_扇PAA2-S_△APQ．同理可求出S

CC2

，S

BB2

．即S=S

AA2

+S

CC2

+S

BB2

，經計算S=5π．

點評：此題較為復雜，是對學生對旋轉問題的靈活運用以及對學生要求一定的計算能力．