Question

如圖，直線y= -x+3與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對稱軸為直線x=2．

（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）連結(jié)AC．請問在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（1，0）（2）ｙ＝2ｘ－4ｘ－6  （3）存在

試題分析：【探究】證明：過點(diǎn)F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延長線于點(diǎn)G
∵AH∥EF∥DG，AD∥GH
∴四邊形AHFE和四邊形DEFG都是平行四邊形
∴FH＝AE，F(xiàn)G＝DE
∵AE＝DE
∴FG＝FH
∵AB∥DG
∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B
∴△CFG≌△BFH
∴FC＝FB     4分
【知識應(yīng)用】過點(diǎn)C作CM⊥ｘ軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥ｘ軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BP⊥ｘ軸于點(diǎn)P
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ｘ，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（ｘ，0）
由探究的結(jié)論可知，MN＝MP
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為
同理可求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）    8分
【知識拓展】
當(dāng)AB是平行四邊形一條邊，且點(diǎn)C在ｘ軸的正半軸時，AD與BC互相平分，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ａ，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，ｙ）
由上面的結(jié)論可知：－6＋ａ＝4＋0，－1＋0＝5＋ｂ
∴ａ＝10，ｂ＝－6
∴此時點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，－6）
同理，當(dāng)AB是平行四邊形一條邊，且點(diǎn)C在ｘ軸的負(fù)半軸時
求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－10，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，6）
當(dāng)AB是對角線時
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4） 14
點(diǎn)評：本題考查拋物線的知識，要求考生會用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，掌握拋物線的性質(zhì)