Question

如圖，已知：⊙O的直徑AB與弦AC的夾角∠A=30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P．
（1）求證：AC=CP；
（2）若PC=6，求圖中陰影部分的面積（結果精確到0.1）．
（參考數據：

3

=1.73，π=3.14）

Answer 1

分析：（1）連接OC．根據圓周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°，根據切線的性質定理以及直角三角形的兩個銳角互余，求得∠P=30°，即可證明；
（2）陰影部分的面積即為Rt△OCP的面積減去扇形OCB的面積．

解答：（1）證明：連接OC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AO=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠COP=2∠ACO=60°．
∵PC切⊙O于點C，
∴OC⊥PC．
∴∠P=30°．
∴∠A=∠P．
∴AC=PC．

（2）解：在Rt△OCP中，tan∠P=

OC

CP

，∴OC=2

3

∵S_△OCP=

1

2

CP•OC=

1

2

×6×2

3

=6

3

且S_扇形COB=2π，
∴S_陰影=S_△OCP-S_扇形COB=6

3

-2π≈4.1．

點評：綜合運用了切線的性質定理、圓周角定理以及扇形的面積公式．