Question

【題目】如圖1，給定銳角三角形ABC，小明希望畫正方形DEFG，使D，E位于邊BC上，F，G分別位于邊AC，AB上，他發現直接畫圖比較困難，于是他先畫了一個正方形HIJK，使得點H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，而不需要求J必須位于AC上．這時他發現可以將正方形HIJK通過放大或縮小得到滿足要求的正方形DEFG.

閱讀以上材料，回答小明接下來研究的以下問題：

(1)如圖2，給定銳角三角形ABC，畫出所有長寬比為2：1的長方形DEFG，使D，E位于邊BC上，F，G分別位于邊AC，AB上．

(2)已知三角形ABC的面積為36，BC＝12，在第(1)問的條件下，求長方形DEFG的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 18或.

【解析】

（1）如圖2，先畫長方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，連結BJ并延長交AC于點F，再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG；如備用圖，先畫長方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，連結BJ并延長交AC于點F，再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面積為36，求出AM=6．再設AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式，由此求出x的值，進而求解即可．

解　(1)如圖2與備用圖1，長方形DEFG即為所求作的圖形；

(2)在長方形DEFG中，如果DE＝2DG，如備用圖2，作△ABC的高AM，交GF于N.

∵三角形ABC的面積＝BC·AM＝×12AM＝36，

∴AM＝6.

設AN＝x，則MN＝6－x，DG＝MN＝6－x，DE＝GF＝2(6－x)＝12－2x.

∵GF∥BC，

∴△AGF∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

解得x＝3，

∴DG＝6－x＝3，DE＝2DG＝6，

∴長方形DEFG的面積＝6×3＝18；

在長方形DEFG中，如果DG＝2DE，同理求出x＝，

∴DG＝6－x＝，DE＝DG＝，

∴長方形DEFG的面積＝×＝.

故長方形DEFG的面積為18或.

故答案為：(1)見解析;(2) 18或.