Question

【題目】如圖，以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側作等邊三角形ABF和ADE，連接BE、DF．

（1）當四邊形ABCD為正方形時（如圖1），則線段BE與DF的數量關系是 ．

（2）當四邊形ABCD為平行四邊形時（如圖2），問（1）中的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=DF（或相等）；（2）成立．證明見解析.

【解析】

（1）根據正方形的性質和等邊三角形性質得：AB=AD，∠BAD=90°，AF=AB，AE=AD，∠BAF=∠DAE=60°，再根據全等三角形判定和性質即可.

（2）先利用平行四邊形性質和等邊三角形性質，再運用全等三角形判定和性質即可.

解：（1）BE=DF（或相等）如圖1，

∵四邊形ABCD為正方形

∴AB=AD，∠BAD=90°

∵△ABF、△ADE都是等邊三角形

∴AF=AB，AE=AD，∠BAF=∠DAE=60°

∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，∠DAF=∠BAD+∠BAF=150°

∴∠BAE=∠DAF

∵AB=AF=AE=AD

∴△ABE≌△AFD（SAS）

∴BE=DF

故答案為：BE=DF或相等；

（2）成立．

證明：如圖2，

∵△AFB為等邊三角形

∴AF=AB，∠FAB=60°

∵△ADE為等邊三角形，

∴AD=AE，∠EAD=60°

∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，

即∠FAD=∠BAE．

在△AFD和△ABE中，

，

∴△AFD≌△ABE（SAS），

∴BE=DF．