Question

如圖，某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置，現將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），如圖（2），AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P．
（1）求證：AM=AN；
（2）當旋轉角α=30°時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）菱形，理由見解析.

試題分析：（1）根據旋轉的性質得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，進而得出△ABM≌△AFN得出答案即可；
（2）利用旋轉的性質得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四邊形ABPF是平行四邊形，再利用菱形的判定得出答案．
（1）證明：∵用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖所示位置放置放置，

現將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），
∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，
在△ABM和△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；
（2）解：當旋轉角α=30°時，四邊形ABPF是菱形．
理由：連接AP，
∵∠α=30°，
∴∠FAN=30°，
∴∠FAB=120°，
∵∠B=60°，
∴∠B+∠FAB=180°，
∴AF∥BP，
∴∠F=∠FPC=60°，
∴∠FPC=∠B=60°，
∴AB∥FP，
∴四邊形ABPF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABPF是菱形．