Question

【題目】（本題10分）如圖，過拋物線上一點(diǎn)A作軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B，交軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的對稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在AB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)OP，作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)D；

①連結(jié)BD，求BD的最小值；

②當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時(shí)，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】(1)x=4；B（10，5）．（2）①．②y=﹣x+．

【解析】

試題分析：（1）確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用對稱軸公式求出對稱軸，再根據(jù)對稱性可得點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）①由題意點(diǎn)D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，推出當(dāng)O、D、B共線時(shí)，BD的最小值=OB﹣OD；

②當(dāng)點(diǎn)D在對稱軸上時(shí)，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE==3，求出P、D的坐標(biāo)即可解決問題.

試題解析：（1）由題意A（﹣2，5），對稱軸x=﹣=4，

∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，

∴B（10，5）．

（2）①如圖1中，

由題意點(diǎn)D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，

∴當(dāng)O、D、B共線時(shí)，BD的最小值=OB﹣OD=．

②如圖2中，

圖2

當(dāng)點(diǎn)D在對稱軸上時(shí)，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，

∴DE==3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．

設(shè)PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，

∴x=，

∴P（，5），

∴直線PD的解析式為y=﹣x+．