Question

如圖，過⊙O外一點A向⊙O引割線AEB，ADC，DF∥BC，交AB于F．若CE過圓心O，D是AC中點．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若FE，FB的長是方程x²-mx+b²=0（b＞0）的兩個根，且△DEF與△CBE相似．
①試用m的代數式表示b；
②代數式3bm-8

3

b+7的值達到最小時，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）要證DF是⊙O的切線，只需證明FD⊥OD即可．
（2）根據相似三角形的性質及根與系數的關系，即可得到所求的代數式；
（3）將b=

3

4

m代入代數式3bm-8

3

b+7可得：

3 3

4

m²-12m+7，當它有最小值時，m=-

-12

2• 3 3 4

=

8 3

3

．因為△CEB與△CBD全等，可推出EC=2EB，利用勾股定理可得CB的式子，再分別將m的值代入即可求得CB的值．

解答：（1）證明：∵CE過圓心O，
∴CB⊥AB；
∵FD∥BC，
∴FD⊥AB；
∵CE過圓心O，D是AC的中點，
∴OD∥AB；
∴FD⊥OD；
∴DF是圓O的切線．

（2）解：∵△DEF∽△CBE，
∴

EF

BE

=

DF

CB

；
∵

DF

BC

=

1

2

，BE=BF-EF，
∴

EF

BF-EF

=

1

2

，
∴BF=3EF；
∵FE+FB=m，FE•FB=b²，
∴EF=

m

4

，BF=

3m

4

；
∴

m

4

•

3m

4

=b²；
∴b=

3

4

m（b＞0）．

（3）解：將b=

3

4

m代入代數式3bm-8

3

b+7得：

3 3

4

m²-6m+7，
當它有最小值時，m=

-6

2• 3 3 4

=

4 3

3

；
∵△CEB≌△CBD，
∴CB=CD；
∵CD=

1

2

AC，
∴CB=

1

2

AC，
∴∠A=30°，
∴∠ECB=∠A=30°，
∴EC=2EB；
∴CB=

CE2-BE2

；
∴CB=

3

BE=

3

•

1

2

m；
∵m=

4 3

3

，
∴BC=2．

點評：此題考查了圓的切線的判定、相似三角形的性質、全等三角形的性質及勾股定理等知識．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．