Question

（本小題滿分10分）

在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：

第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；

第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）

請解答以下問題：

1.（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論．

2.（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP ？

 

Answer 1

 

1.（1）△BMP是等邊三角形.    

 證明：連結AN  ∵EF垂直平分AB  ∴AN = BN

由折疊知 AB = BN

∴AN= AB = BN   ∴△ABN為等邊三角形  

∴∠ABN =60°  ∴∠PBN =30°            

又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =90°

∴∠BPN =60°∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°

∴∠BMP =60°

∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°

∴△BMP為等邊三角形 .

2.（2）要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC ≥BP

在Rt△BNP中， BN = BA =a，∠PBN =30°

∴BP=   ∴b≥  ∴a≤b .

∴當a≤b時，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP

解析:略