Question

【題目】已知，拋物線（a≠0）經過點A（4，4）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，拋物線上存在點B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點B的坐標： ．

（3）如圖2，直線l經過點C（0，﹣1），且平行與x軸，若點D為拋物線上任意一點（原點O除外），直線DO交l于點E，過點E作EF⊥l，交拋物線于點F，求證：直線DF一定經過點G（0，1）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）B（﹣4，4）或（﹣8，16）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式，（2）分兩種情況，先確定出直線OB或AB，和拋物線解析式聯立確定出點B的解析式；

（3）先設出點D坐標，確定出點F坐標，進而得出直線DF解析式，將點G坐標代入直線DF看是否滿足解析式．

試題解析：（1）∵拋物線（a≠0）經過點A（4，4），∴16a=4，∴a=，∴拋物線的解析式為，（2）存在點B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，理由：如圖1，∵使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，∴直角頂點是點O，或點A，①當直角頂點是點O時，過點O作OB⊥OA，交拋物線于點B，∵點A（4，4），∴直線OA解析式為y=x，∴直線OB解析式為y=﹣x，∵，∴（舍）或，∴B（﹣4，4），②當直角頂點為點A，過點A作AB⊥OA，由①有，直線OA的解析式為y=x，∵A（4，4），∴直線AB解析式為y=﹣x+8，∵，解得：（舍）或，∴B（﹣8，16），∴滿足條件的點B（﹣4，4）或（﹣8，16）；故答案為：B（﹣4，4）或（﹣8，16）；

（3）證明：設點D（m，），∴直線DO解析式為，∵l∥x軸，C（0，﹣1），令y=﹣1，則x=，∴直線DO與l交于E（，﹣1），∵EF⊥l，l∥x軸，∴F橫坐標為，∵點F在拋物線上，∴F（，）．設直線DF解析式為y=kx+b，∴，∴，∴直線DF解析式為，∴點G（0，1）滿足直線DF解析式，∴直線DF一定經過點G．