Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O₁，以AC為直徑的⊙O₂交BC于點D，AE切⊙O₁于點A，交⊙O₂于點E，連接AD、CE，若AC=7，AD=3

5

，tanB=

5

2

．
求：（1）BC的長；
（2）CE的長．

Answer 1

分析：（1）由AC是直徑，可知∠ADC=90°，那么∠ADB=90°，又∠B的正切值等于

AD

BD

，根據已知條件，可先求出BD，在△ADC中，利用勾股定理可求出CD，那么BC就求出來了；
（2）A由AE是⊙O₁的切線，可得弦切角∠EAC=∠ABD，再加上一對直角相等，故有△ABD∽△ACE，利用相似比，可求出CE．（需在△ABD利用勾股定理求出AB的長即可）

解答：解：（1）∵AC是⊙O₂的直徑
∴∠ADC=90°
又∵AC=7，AD=3

5

∴DC=

AC2-AD2

=2
在Rt△ADB中
tanB=

AD

BD

=

5

2

∴BD=6
∴BC=BD+DC=8；

（2）∵AC是⊙O₂的直徑
∴∠E=90°
∴∠AEC=∠BDA=90°
∵AE是⊙O₁的切線
∴∠EAC=∠B
∴Rt△AEC∽Rt△BDA
∴

CE

AD

=

AC

AB

∵在Rt△ADB中
AB=

AD2+BD2

=9
∴CE=

AC•AD

AB

=

7 5

3

．

點評：本題利用了角的正切值的計算以及勾股定理，三角形相似的判定和性質．