Question

【題目】已知，如圖1：中，、的平分線相交于點，過點作交、于、

(1)直接寫出圖1中所有的等腰三角形．指出與、間有怎樣的數量關系？

(2)在(1)的條件下，若，，求的周長；

(3)如圖2，若中，的平分線與三角形外角的平分線交于點，過點作交于，交于，請問(1)中與、間的關系還是否存在，若存在，說明理由：若不存在，寫出三者新的數量關系，并說明理由；

(4)如圖3，、的外角平分線的延長線相交于點，請直接寫出，、，之間的數量關系．不需證明．

Answer 1

【答案】（1）等腰△OBE和等腰△OCF；EF=BE+CF；（2）25；（3）見解析； （4）EF=BE+CF+MN．

【解析】

（1）利用角平分線和平行線的即可得出結論；
（2）利用（1）的結論即可得出結論；
（3）同（1）的方法即可得出結論；
（4）利用角平分線和平行線的即可得出結論；

解：（1）∵BO是∠ABC的平分線，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO=∠BOE，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=OE，
∴△BEO是等腰三角形，
同理：△CFO是等腰三角形，
EF=OE+OF=BE+CF；
（2）由（1）知，OE=BE，OF=CF，
∴AEF的周長為AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=25；
（3）（1）中結論不成立，新結論為：EF=BE-CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分線，
∴∠ABO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO=∠EOB，
∴∠ABO=EOB，
∴OE=BE，
同理：CF=OF，
∴EF=OE-OF=BE-CF，
（4）∵BO是∠CBE的平分線，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠EMB=∠CBO，
∴∠EBM=∠EMB，
∴BE=EM，
同理：FN=CF，
∴EF=EM+MN+FN=BE+MN+CF．