Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為10，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于點H，AH=10，連接BD，分別交AE、AH、AF于點P、G、Q．

（1）求△CEF的周長；

（2）若E是BC的中點，求證：CF=2DF；

（3）連接QE，求證：AQ=EQ．

Answer 1

【答案】（1）△ECF的周長為20；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）想辦法證明EB＝EH，FD＝FH，即可解決問題；

（2）通過計算求出CF、DF即可解決問題；

（3）想辦法證明△APB∽△QPE，可得∠AEQ＝∠ABP＝45°即可解決問題.

（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中，

∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，

∴△ABE≌△AHE，

∴BE=HE，同理，DF=FH，

∴△ECF的周長=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．

（2）∵E是BC中點，

∴BE=EC=EH=5，設DF=FH=x，則CF=10﹣x，

在Rt△ECF中，∵∠C=90°，

∴EF2=EC2+CF2，

∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，

解得x=，即DF=，則CF=10﹣=，

∴CF=2DF；

（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，

∴△BPE∽△APQ，

∴=，

即=，

∵∠APB=∠QPE，

∴△APB∽△QPE，

∴∠QEP=∠ABP=45°，

∵∠EAF=45°，

∴∠QEA=∠QAE=45°，

∴AQ=EQ．