Question

（2010•黃石）某鄉鎮中學教學樓對面是一座小山，去年“聯通”公司在山頂上建了座通訊鐵塔．甲、乙兩位同學想測出鐵塔的高度，他們用測角器作了如下操作：甲在教學樓頂A處測得塔尖M的仰角為α，塔座N的仰角為β；乙在一樓B處只能望到塔尖M，測得仰角為θ（望不到底座），他們知道樓高AB=20m，通過查表得：tanα=0.5723，tanβ=0.2191，tanθ=0.7489；請你根據這幾個數據，結合圖形推算出鐵塔高度MN的值．

Answer 1

【答案】分析：構造所給的三個角所在的直角三角形，利用相等的線段及相應的三角函數表示出MN，MD，ME，進而用MD，ME表示出樓高AB，求得相等的線段的長度，進而求得塔高即可．
解答：解：如圖，設地平線BD，水平線AE分別交直線MN與D，E．
顯然AE=BD，不妨設為m，則在Rt△AEM中，ME=mtanα．
在Rt△AEN中，NE=mtanβ，
∴MN=m（tanα-tanβ）．
在Rt△BDM中，MD=mtanθ，
而AB=DE=MD-ME=m（tanθ-tanα），
∴m=，
∴MN=．
∵AB=20，tanα=0.5723，tanβ=0.2191 tanθ=0.7489，
∴MN=≈40（m）．
∴可測得鐵塔的高度MN=40m．
點評：解決本題的難點是構造所給角所在的直角三角形，關鍵是利用相等的線段表示出已知線段的長度．