Question

【題目】在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由”．

（1）當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系，直接寫出結論：AE　 　DB

（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）證明你得出的以上（1），如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．

（3）在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED = EC．若△ABC的邊長為1，AE = 2，求CD的長．

Answer 1

【答案】(1)=;(2)見解析;(3) CD=1或3，理由見解析.

【解析】

（2）過E作EF∥BC交AC于F，根據題意證明△DEB≌△ECF，即可求解.

（3）根據點E在直線AB的位置不同進行分類討論，過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，并證明△AMB∽△ENB，列出比例式求解即可.

解：（1）答案為：=．

（2）過E作EF∥BC交AC于F，在等邊三角形ABC中，

有∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，

又∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，

又∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，

∴∠BED=∠ECF，

在△DEB和△ECF中，

∠DEB=∠ECF，∠DBE=∠EFC，DE=CE，

∴△DEB≌△ECF，

∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=．

（3）解：CD=1或3，

理由是：分為兩種情況：①如圖1

過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，

則AM∥EN，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，

∴BM=CM=BC=，

∵DE=CE，EN⊥BC，

∴CD=2CN，

∵AM∥EN，

∴△AMB∽△ENB，

∴=，

∴=，

∴BN=，

∴CN=1+=，

∴CD=2CN=3；

②如圖2，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，

則AM∥EN，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，

∴BM=CM=BC=，

∵DE=CE，EN⊥BC，

∴CD=2CN，

∵AM∥EN，

∴=，

∴=，

∴MN=1，

∴CN=1﹣=，

∴CD=2CN=1，

即CD=3或1．