Question

（1997•安徽）（1）拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-2，2）、點B（2，-3）和點O（0，0），求它的解析式．
（2）拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-2，2）和點B（2，-3）時，求證：方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數根．

Answer 1

分析：（1）分別把點A（-2，2）、點B（2，-3）和點O（0，0）分別代入解析式得到關于a、b、c的方程組

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3 c=0

，然后解方程組即可；
（2）先把點A（-2，2）和點B（2，-3）代入y=ax²+bx+c（a≠0）得

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3

，解關于b、c的方程組得到

b=- 5 4 c=-4a- 1 2

，再計算方程ax²+bx+c=0的根的判別式得到△=b²-4ac，把b、c的值代入后整理得到△=15a²+（a+1）²+

9

16

，根據非負數的性質得到△＞0，然后根據判別式的意義即可得到方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數根．

解答：（1）解：把點A（-2，2）、點B（2，-3）和點O（0，0）分別代入解析式得

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3 c=0

，
解方程組得

a=- 1 8 b=- 5 4 c=0

，

所以拋物線的解析式為y=-

1

8

x²-

5

4

x；

（2）證明：把點A（-2，2）和點B（2，-3）代入y=ax²+bx+c（a≠0）得

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3

，
解得

b=- 5 4 c=-4a- 1 2

，
在方程ax²+bx+c=0中，
∵△=b²-4ac
=

25

16

-4a•（-4a-

1

2

）
=16a²+2a+

25

16

=15a²+（a+1）²+

9

16

，
∴△＞0，
∴方程ax²+bx+c=0一定有兩不相等的實數根．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：常設二次函數的解析式有一般式、頂點式和交點式．也考查了一元二次方程根的判別式．