Question

在一次數學興趣小組的活動課上，師生有下面的一段對話，請你閱讀完后再解答問題．
老師：同學們，今天我們來探索如下方程的解法：（x²-x）²-（x²-x）+12=0
學生甲：老師，這個方程先去括號，再合并同類項，行嗎？
老師：這樣，原方程可整理為x⁴-2x³-7x²+8x+12=0，次數變成了4次，用現有知識無法解答．同學們再觀察觀察，看看這個方程有什么特點？
學生乙：老師，我發現x²-x是整體出現的，最好不要去括號！
老師：很好，我們把x²-x看成一個整體，用y表示，即x²-x=y，那么原方程就變為y²+8y+12=0．
全體學生：（同學們都特別高興）噢，這不是我們熟悉的一元二次方程嗎？！
老師：大家真會觀察和思考，太棒了！顯然一元二次方程y²+8y+12=0的根是y₁=6，y₂=2，那么就有x²-x=6或x²-x=2．
學生丙：對啦，再解這兩個方程，可得原方程的根x₁=3，x₂=-2，x₃=2，x₄=-1，嗬，有這么多根啊！
老師：同學們，通常我們把這種方法叫做換元法．在這里使用它的最大妙處在于降低了原方程的次數，這是一種重要的轉化方法．
全體同學：OK，換元法真神奇！
現在，請你用換元法解下列分式方程：(

x

x-1

)2-5(

x

x-1

)-6=0．

Answer 1

分析：可設y=

x

x-1

，則原方程化為y²-5y-6=0，可解得，y₁=6，y₂=-1，即

x

x-1

=6，

x

x-1

=-1，解出x的值，驗根即可．

解答：解：設y=

x

x-1

，則原方程化為y²-5y-6=0，
解關于y的一元二次方程得：y₁=6，y₂=-1，
將y=6代入y=

x

x-1

中，x₁=

6

5

，
將y=-1代入y=

x

x-1

中，x₂=

1

2

，
將x₁=

6

5

，x₂=

1

2

代入原方程檢驗知，它們均為原方程的根．
∴方程(

x

x-1

)2-5(

x

x-1

)-6=0的解為x₁=

6

5

，x₂=

1

2

．

點評：本題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據方程特點設出相應未知數，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．