Question

【題目】已知點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．

（1）當(dāng)α=60°時(shí)（如圖1），

①判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

②求證：BD=AE；

（2）當(dāng)α=90°時(shí)（如圖2），求的值．

Answer 1

【答案】(1) ①等邊三角形；理由見(jiàn)解析; ②證明見(jiàn)解析;(2)

【解析】

試題分析：(1)①由三角形ABC中有兩個(gè)60°而求得它為等邊三角形；②由△EBD也是等邊三角形，連接DC，證得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易證得結(jié)論．

（2）連接DC，證得△ABC∽△EBD，設(shè)BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．

試題解析：（1）①判斷：△ABC是等邊三角形．

理由：∵∠ABC=∠ACB=60°

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等邊三角形

②證明：同理△EBD也是等邊三角形

連接DC，

則AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD

∴△ABE≌△CBD

∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°

∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°

在Rt△EDC中，，

∴,即BD=AE．

（2）連接DC，

∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°

∴△ABC∽△EBD

∴，即

又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD

∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，

∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°

設(shè)BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=

在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2

∴，

即．