Question

【題目】如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．

（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若CD=2AD，⊙O的直徑為20，求線段AC、AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC．

∵點C在⊙O上，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵CD⊥PA，

∴∠CDA=90°，

∴∠CAD=∠DCA=90°，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°，

∴CD是⊙O切線．

（2）

解：作OF⊥AB于F，

∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，

∴四邊形CDFO是矩形，

∴OC=FD，OF=CD，

∵CD=2AD，設AD=x，則OF=CD=2x，

∵DF=OC=10，

∴AF=10﹣x，

在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，

∴（10﹣x）2+（2x）2=102，

解得x=4或0（舍棄），

∴AD=4，AF=6，AC=4 ，

∵OF⊥AB，

∴AB=2AF=12．

【解析】（1）欲證明CD為⊙O的切線，只要證明∠OCD=90°即可．（2）作OF⊥AB于F，設AD=x，則OF=CD=2x，在Rt△AOF中利用勾股定理列出方程即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．