Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于點C，與BA的延長線交于點D，OE⊥AB交⊙O于點E，連接CA、CE、CB，CE交AB于點G，過點A作AF⊥CE于點F，延長AF交BC于點P．

（Ⅰ）求∠CPA的度數；

（Ⅱ）連接OF，若AC=，∠D=30°，求線段OF的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）45°；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連接AE，由OA=OB且OE⊥AB知∠OEG+∠AEC=45°，再證∠OEG=∠BAP、∠AEC=∠ABP，在△ABP中利用三角形外角性質可得答案；

（Ⅱ）由切線性質及∠D=30°可得∠AOC=∠OAC=60°，在Rt△ABC中求得BC=3，由∠APC=45°、∠ACP=90°得CP=AC=，可知BP=3﹣，證OF為△ABP中位線可得答案．

解：（Ⅰ）如圖，連接AE，

∵OE⊥AB，OA=OE，

∴∠AOE=90°，∠AEO=45°，

∴∠OEG+∠OGE=90°，

∵AF⊥CE，

∴∠AFG=90°，

∴∠FAG+∠AGF=90°，

∵∠AGF=∠OGE，

∴∠OEG=∠BAP，

∵∠AEC=∠ABC，

∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°；

（Ⅱ）連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠DCO=90°，

∵∠D=30°，

∴∠AOC=60°，

∵OA=OC，

∴∠BAC=60°，

在Rt△ABC中，AC=，

∴BC=ACtan∠BAC=×=3，

由（1）知，AC=CP=，

∴BP=BC﹣CP=3﹣，

∵AF⊥CE，

∴AF=PF，

∵OA=OB，

∴OF=BP=．